2.4 Aplicações da integral definida

A integral definida pode ser usada para muitas coisas nas ciências naturais e engenharias.

Trabalho realizado por uma força

Utilizada para situações onde a força F permanece constante durante todo o deslocamento.

Em casos onde  não é constante, temos uma função do tipo .

Como sabemos, por definição, que o trabalho é a força multiplicada pelo deslocamento, se considerarmos cada vez menor os subintervalos de deslocamento e somarmos, estamos fazendo nada mais do que uma integral da função .

Considere uma força sendo aplicada sobre um corpo, que varia conforme um deslocamento x num intervalo [a,b]. O trabalho W realizado por será:

Valor Médio de uma função

Em casos onde se deseja saber o valor médio de uma variável tendo uma quantidade finita de termos é fácil calcularmos seu valor médio. Por exemplo, têm-se 24 leituras de temperatura, 1 para cada hora do dia. Então, a temperatura média será a soma da temperatura de cada hora dividido por 24. Mas, e em situações onde se tem infinitas possibilidades de leitura, ou seja, não apenas pontos no gráfico, mas uma curva? A integral pode nos ajudar.

Para valores inteiros, tínhamos como média:

 

para um intervalo fechado [a,b]

Para valores reais, também teremos como média:

para um intervalo fechado [a,b]

Dividiremos esse intervalo [a,b] em n subintervalos iguais, cada um com comprimento Δx, sendo:

Mas,

Substituindo n na equação do valor médio:

Aplicando o limite quando n tende ao infinito, chegamos ao valor médio de f no intervalo [a,b]:

Exemplo: Tomemos como exemplo a função  no intervalo [0, 4]. O valor médio da função neste intervalo será dado por:

Desta análise surge o Teorema do Valor Médio, que afirma se f(x) é uma função contínua em [a, b], existe ao menos um  tal que:

Volume de um sólido de revolução

Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma reta que está no mesmo plano da região; a reta é denominada eixo de revolução. 

- Rotacionando um retângulo em um eixo, obtém-se um cilindro circular reto;

- Rotacionando um círculo em um eixo, obtém-se uma esfera;

- Rotacionando um triângulo em um eixo, obtém-se um cone;

Estes sólidos são os mais comuns e fáceis de se calcular o volume, uma vez que suas fórmulas para isso já estão construídas. 

E se tivermos um sólido no espaço sem formas bem definidas, como calculamos seu volume? O cálculo integral pode nos ajudar, vamos às demonstrações.

Exemplo 1 Observe os gráficos

Fonte: GeoGebra Tube

Autor: Instituto GeoGebra de Celaya

Os dois gráficos são iguais, mas o da direita é a curva f(x) revolucionada em um eixo no espaço cartesiano. No gráfico em 2D estimamos a área abaixo da curva por retângulos, no 3D podemos estimar por cilindros. Perceba que f(x) agora é o valor do raio do cilindro, e não mais da altura de um retângulo. Além disso, o Δx, que antes era a base dos retângulos, agora é a altura de cilindro. 

Então, o volume do cilindro pode ser expresso por:

Agora entra em cena algo que já vimos bastante em outras seções de integrais do site. Quanto mais cilindros colocarmos dentro do sólido, mais precisa nossa estimação ficará.

Vamos estimar o volume do sólido gerado pela revolução da função f(x) = x² no intervalo [0,2] através do volume de 10 cilindros, considerando como valor do raio do i-ésimo cilindro o valor do vértice inferior esquerdo de cada retângulo aplicado na função f.

Como serão 10 cilindros, cada um terá como altura 2/10 = 0,2

Os vértices inferiores esquerdos dos retângulos estão na sequência finita: (0; 0,2;...;1,8), portanto, os os raios dos cilindros serão a sequências também finita: [f(0); f(0,2);...; f(1,8)].

Agora podemos escrever a seguinte relação, pois π e Δx são fixos e constantes:

Que é aproximadamente 15,41 u. v. (confira no gráfico)

E como obtemos o volume exato desse sólido?

Da mesma maneira que fizemos com as áreas de figuras no plano cartesiano. Se tendermos o número de cilindros ao infinito, Δx se torna infinitesimalmente pequeno, chegando à uma integral simples:

Que no caso do problema que estamos investigando ficaria: