1.3 Propriedades de sequências

Sequências podem representar inúmeros fatos de nosso cotidiano: uma sequência de valores de um mesmo produto, os índices de aprovação de um curso, uma sequência das taxas de variação entre os termos de uma dada sequência, enfim, são diversas as aplicações de seu conceito em “certos” momentos de nossa vida acadêmica, profissional e até mesmo em situações corriqueiras.

Uma definição matemática

Uma sequência pode ser descrita como uma função com comandos de entrada (“domínio”) nos números naturais e seus comandos de saída (“imagem”) nos números reais, matematicamente sua representação é dada por . Ao invés de f(n), em geral será indicada por  para todo  e chamado o termo geral, ou n-ésimo termo da sequência.

Exemplo

Teríamos uma sequência com termos .

Para as sequências abaixo, analise o comportamento das sequências algebricamente e graficamente, respondendo as questões:

a) {2, 2, 2, ...}

Aqui a sequência nos representa um comportamento constante, descrito por:

Graficamente:

b) 

Uma sequência decrescente que conforme tomemos n tão grande quanto queiramos converge a 1.

Graficamente:

c) 

Trata-se de uma sequência crescente, algebricamente:

 

Graficamente:

Percebemos que cada sequência analisada tem comportamentos distintos.

Uma sequência pode ter comportamento crescente, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente.

Uma sequência  é denominada

estritamente crescente se 

crescente se 

estritamente decrescente se 

decrescente se 

Devemos dar uma atenção ao comportamento de uma sequência, seu esboço gráfico pode nos representar o fato ao qual buscamos uma resposta.

Alguns casos particulares

Algumas sequências podem ter comportamento nem crescente nem decrescente, neste caso a sequência não é estritamente monótona e nem monótona.

Tomemos a sequência como exemplo e analisemos seu comportamento:

Graficamente:

A sintaxe de nossa sequência no Geogebra terá comandos:

Sequência [ (i,  ((-1)^(i+1)) * 1/i), i, 1, n ]

Nossa sequência em questão tem um comportamento alternado, conforme os valores que n  assumem tem limitante superior (1 ) e inferior (-0,5).

Podemos dizer que uma sequência será limitada se a “imagem” de seus termos ficarem, a partir de certo momento, dentro do intervalo.

Tomemos valores para o expoente tais como 1,2,3,4,5.... Podemos analisar que com valores pares teremos um comando de saída o (1) e atribuindo valores ímpares o comando fica em (-1).

Trata-se de uma sequência alternada, para valores de n pares temos uma subsequência com limitante 1 e valores ímpares uma subsequência com o  limitante é -1.

Essas limitações às quais foram mencionadas podem ser identificadas tanto graficamente como algebricamente e nos mostram que temos uma sequência formada por duas subsequências cada uma com sua limitação “pois percebemos que para valores tão grandes quanto queiramos o esboço gráfico não ultrapassa seu limitante”.

Em outras palavras uma sequência  é dita limitada superiormente se existir uma valor real β, que para todo numero natural  n,   não ultrapassa β. Assim teremos:

De forma análoga dizemos que a sequência é limitada inferiormente se existir um valor real α, que para todo número natural  n,   não ultrapassa α. Assim teremos:

Com isso podemos dizer que, se existirem valores reais α e β, tais que para todo número natural n, temos:

E dizemos assim, que a sequência é limitada, pois está contida no intervalo [α,β]. Uma sequência será limitada se e somente se, for limitada inferiormente e superiormente.

Graficamente:

Para a construção desta sequência no Geogebra usamos os seguintes comandos:

No campo de entrada, digite Sequência e escolha a segunda opção, conforme abaixo:

Consideremos nossa variável sendo i. Em <Expressão>, coloque o seguinte par ordenado: (i, ((-1)^ i )). Dessa forma, teremos pontos plotados no plano cartesiano obedecendo à sequência informada;

Substitua <Variável> por i;

Substitua <Valor Inicial> por 1;

Por fim, substitua <Valor final> por n.

A sintaxe ficará da seguinte forma:

Sequência [(i , ((-1) ^ i )) , i , 1 , n [

Crie um controle deslizante com início em 1, final em um número grande e incremento de 1 para o número n (o programa irá lhe informar para essa etapa).

Clicando em cima da sequência de pontos e marcando “habilitar rastro” faz com que você possa modificar o controle deslizante.

Questões para estudo deste conteúdo

Download