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2.6 Polinômios

A fórmula geral para uma função polinomial pode ser escrita como:




onde n é denominado o grau do polinômio e  o coeficiente principal. Por exemplo, a função:


é um polinômio de grau 5 porque o termo com a potência mais alta é . Costuma-se escrever um polinômio com as potências na ordem decrescente, da esquerda para a direita:


A função g tem outro termo, , que não é necessário escrever. O valor dos coeficientes de g são . Em resumo:
A fórmula geral para a família das funções polinomiais pode ser escrita como

onde n é um inteiro positivo denominado grau de p e ≠ 0.

  • Cada função potência  nessa soma é denominado termo.
  • As constantes  são denominadas coeficientes.
  • O termo  é denominado termo constante. O termo de maior expoente, , é denominado termo principal.
  • Para escrever um polinômio na forma-padrão, organizamos seus termos, da potência mais alta para a mais baixa, da esquerda para a direita.

 Assim como as funções potência, a partir das quais os polinômios são construídos, estes também são definidos para todo x. Exceto para polinômios de grau zero (cujos gráficos são retas horizontais), os gráficos dos polinômios não possuem assíntotas horizontais nem verticais. A forma do gráfico depende do seu grau. As mais comuns podem ser vistas no gráfico abaixo, movimentando o controle deslizante n, expoente de x. É importante salientar que aqui são mostrados polinômios com apenas 1 termo, e que a forma da sua curva pode variar conforme o número de termos aumenta.
Fonte: GeoGebra Tube
Autor: Alan Couto

Comportamento a longo prazo


 Em geral, funções potências com maiores expoentes positivos crescem mais rapidamente do que aquelas com expoentes menores. Isso nos ensina sobre o comportamento de polinômios para grandes valores de x. Por exemplo, considere . Desde que x seja suficientemente grande, o valor absoluto de  é muito maior do que o valor absoluto dos demais termos combinados. Veja que, se x = 100,

e os outros termos de g(x) são:


Isso mostra que g(100) = 39.999.030.101, que é aproximadamente igual a 40.000.000.000. Quase sempre, se x for suficientemente grande, a contribuição mais importante para o valor do polinômio resulta do termo principal; podemos ignorar os termos das potências mais baixas.

 Generalizando:
Quando visto em uma escala suficientemente grande, o gráfico de um polinômio  assemelha-se ao gráfico da função potência y = . Esse comportamento é denominado comportamento de longo prazo de um polinômio. Usando a notação de limite, escrevemos:

                                                              

Comportamento de curto prazo


Considere os polinômios f, g e h:


Vimos que, a longo prazo, todos esses polinômios se assemelham à mesma curva. No caso, à x³. Mas, em uma escala suficientemente pequena, seus comportamentos são completamente diferentes. Observe:




Figura 1. Visualização a longo prazo das funções f, g e h. Clique sobre a imagem para ampliar.


Figura 2. Visualização a curto prazo das funções f, g e h. Clique sobre a imagem para ampliar.
Repare que dois dos gráficos passam pela origem, enquanto o terceiro não. Eles também diferem entre si no número de corcovas, além do número de vezes que interceptam o eixo dos x.

Raízes de polinômios


Os zeros de um polinômio p são valores de x tais que p(x) = 0. Eles são as interseções com o eixo dos x, pois nos indica onde p cruza tal eixo. A fatoração do polinômio pode ser usada para determinar seus zeros, entretanto, há vários outros métodos. O comportamento à longo prazo de polinômios podem nos dar indícios de quantos zeros ele possui.

 Encontrando zeros por Briot-Ruffini ==> https://www.youtube.com/watch?v=KQ4Nx58MzUM

 Encontrando possíveis zeros por tentativas ==> https://www.youtube.com/watch?v=qNs2yQs97dc

Zeros múltiplos

Podemos decompor o polinômio  da seguinte maneira:
2(x-1)(x-1)(x-1)(x+3)(x+3)(x+4) = 0 ==> 2(x-1)³(x+3)²(x+4) = 0

Temos que as raízes dessa equação são: 1, 1, 1, -3, -3 e -4.

Dizemos que a raiz 1 tem multiplicidade 3 ou que a raiz 1 é raiz tripla da equação; a raiz -3 é dupla e -4 é raiz simples. Note que a multiplicidade de cada raiz da equação corresponde ao expoente do fator que contém essa raiz. Por exemplo, a raiz -3 tem multiplicidade 2, e o expoente do fator que a contém é igual a 2. Dessa forma, a equação inicial é divisível por (x+3) e (x+3)², mas não por (x+3)³, por exemplo.
A quantidade de vezes que um número aparece como raiz de uma equação polinomial indica a multiplicidade dessa raiz.


Exemplo 1 Dado o polinômio


 onde q(0) = -1, há uma razão para esperar uma solução para a equação q(x) = 0? Se não, explique por que não! Caso afirmativo, como você sabe?

 Solução
A equação q(x) deve ter, pelo menos, duas soluções. Sabemos disso porque, em uma escala grande, q(x) se parece com uma função potência . Tal função leva a grandes valores positivos quando x cresce (ou positiva ou negativamente). Como o gráfico de q(x) é suave e sem quebras, ele deve cruzar o eixo dos x pelo menos duas vezes para sair de q(0) = -1 para os valores positivos que ele alcança quando .


Figura 1. Vista a longo prazo da função q(x), exibindo seu caráter de polinômio de grau 6.
Questões para estudo deste conteúdo


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