O termo "variação acumulada" remete à uma ideia de juntar algo, aglomerar, reunir...
Realizaremos um experimento mental (e visual!) a fim de mostrar qual foi a distância percorrida por um carro. Suponha que um automóvel se move com velocidade crescente e é anotada, a cada dois segundos, sua velocidade no instante em questão. A tabela a seguir é construída: [1,2,3]
Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 Velocidade (pés/s) 20 30 38 44 48 50
Que distância ele percorreu durante esse 10 segundos? Bom, não sabemos com que velocidade exatamente ele está se movendo e, por isso, não podemos calcular com precisão a distância percorrida até então. Porém, é possível fazer uma aproximação. Veja: nos 2 primeiro segundos, o carro anda à uma velocidade de, no mínimo, 20 pés/s. Então, ele percorrerá, no mínimo, 20 pés/s x 2 s = 40 pés nos primeiros 2 segundos, já que sabemos que Distância = Velocidade x Tempo. De forma análoga, nos próximos 2 segundos ele percorrerá 30 pés/s x 2 s = 60 pés, e assim sucessivamente. Durante 10 segundos, portanto, ele terá percorrido, no mínimo:
20 x 2 + 30 x 2 + 38 x 2 + 44 x 2 + 48 x 2 = 360 pés.
Acima foi feita uma estimativa inferior ao valor verdadeiro da distância percorrida pelo carro.
Podemos também aproximar este valor através de uma estimativa superior. Nos 2 primeiros segundos, o carro percorreu, no máximo, 30 pés/s x 2 s = 60 pés. Em mais 2 segundos, no máximo 38 pés/s x 2 s = 76 pés etc.. Então, para o intervalo de 10 s, o carro percorreu, no máximo:
30 x 2 + 38 x 2 + 44 x 2 + 48 x 2 + 50 x 2 = 420 pés.
Logo,
360 pés ≤ Distância total percorrida ≤ 420 pés
Havendo uma diferença de 60 pés entre cada uma das estimativas.
É possível estimar com maior precisão esse valor?
Sim! Para isso, devemos diminuir os intervalos de tempo considerados. Se no experimento fosse medida a velocidade do carro a cada 1 segundo, a seguinte tabela seria construída:
| Tempo (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Velocidade (pés/s) | 20 | 26 | 30 | 34 | 38 | 41 | 44 | 46 | 48 | 49 | 50 |
Obtendo-se uma nova estima inferior, temos que o carro percorre, no mínimo:
20 x 1 + 26 x 1 + ... + 49 x 1 = 376 pés.
E uma nova estima superior, onde o carro percorre, no máximo:
26 x 1 + 30 x 1 + ... + 50 x 1 = 406 pés.
Observe que o erro entre as novas estimativas cai para 30 pés, metade do que tínhamos quando fizemos com intervalos de 2 segundos. Se dividirmos pela metade o intervalo de tempo considerado, diminuímos pela metade o erro de estimação. Agora, temos que, de fato:
376 pés ≤ Distância total percorrida ≤ 406 pés
Visualizando a distância percorrida
Graficamente, a distância total percorrida pelo carro é equivalente a calcular a soma das áreas de retângulos que têm como base intervalos de tempo e como altura as velocidades mínimas/máximas, dependendo do caso.
Imagine que a curva represente a velocidade do carro e que a base seja o tempo transcorrido. Diminuindo os tamanhos dos intervalos vamos tornando os cálculos mais precisos.
Imagine que a curva represente a velocidade do carro e que a base seja o tempo transcorrido. Diminuindo os tamanhos dos intervalos vamos tornando os cálculos mais precisos.
(Créditos na imagem)
Suponha que um objeto se mova com velocidade v = f(t), num intervalo de tempo a ≤ t ≤ b e f(t) sempre positiva. Registando as velocidades nos instantes t0 (ponto a), t1, t2, ..., tn (ponto b) de forma que a velocidade seja constante em casa subintervalo e considerando que os tempos são igualmente espaçados, entre dois tempos consecutivos temos uma variação de tempo
. Durante o primeiro intervalo a velocidade é cerca de f(t0), então, a distância percorrida é de, aproximadamente, f(t0)Δt. Analogamente, para o segundo intervalo, a distância percorrida será por volta de f(t1)Δt e assim sucessivamente. Ou seja, no intervalo [a,b], a distância total percorrida é de, aproximadamente:
Soma pela esquerda (soma inferior)
Em geral, temos:
Se a velocidade for positiva, a distância total percorrida será a área sob a curva velocidade.
Caso geral
Suponha que um objeto se mova com velocidade v = f(t), num intervalo de tempo a ≤ t ≤ b e f(t) sempre positiva. Registando as velocidades nos instantes t0 (ponto a), t1, t2, ..., tn (ponto b) de forma que a velocidade seja constante em casa subintervalo e considerando que os tempos são igualmente espaçados, entre dois tempos consecutivos temos uma variação de tempo
. Durante o primeiro intervalo a velocidade é cerca de f(t0), então, a distância percorrida é de, aproximadamente, f(t0)Δt. Analogamente, para o segundo intervalo, a distância percorrida será por volta de f(t1)Δt e assim sucessivamente. Ou seja, no intervalo [a,b], a distância total percorrida é de, aproximadamente:
Soma pela direita (soma superior):
Soma pela esquerda (soma inferior)
Portanto, pela ilustração e demonstrações acima, quanto mais retângulos fizermos, mais precisamente estaremos calculando essa distância percorrida.
Essas somas são conhecidas por Somas de Riemann, f é denominado integrando, as contantes a e b são os limites de integração e dt é uma notação proveniente de 
.
.
Exemplo 1 Considere a região limitada pelo eixo das abscissas e o gráfico de f(t) = 5 - t² no intervalo [0,2] (altere no gráfico):
Fonte: GeoGebra Tube
Autor: Renato Francisco Lopes Mello
a) Estime a área dessa região utilizando retângulos, considerando o intervalo dividido em 4 partes e tomando como medida da altura do i-ésimo retângulo o valor da função f(mi), onde mi é o ponto médio do i-subintervalo.
O intervalo será dividido em 4 partes, então: 2/4 = 0,5 serão as medidas dos subintervalos.
0,5 será a base de cada retângulo que temos.
Agora vamos descobrir as alturas de cada retângulo. Ele nos diz que o valor da altura será o valor gerado quando aplicamos o ponto médio de cada subintervalo em f.
O primeiro subintervalo é [0;0,5] e seu ponto médio, portanto, é 0,25.
0,25 aplicado em f, temos: 5 - (0,25)² = 4,9375
Então a área do primeiro retângulo: 0,5 x (4,9375) = 2,47 u. a.
Perceba que a única coisa que vai se alterar será a altura dos retângulos, já que eles possuem bases iguais. Se as alturas serão sempre seus pontos médios do subintervalo da base aplicados na função, podemos escrever o somatório:
Que nos retorna o valor aproximado de 7,375 u. a. (observe no gráfico).
O intervalo será dividido em 4 partes, então: 2/4 = 0,5 serão as medidas dos subintervalos.
0,5 será a base de cada retângulo que temos.
Agora vamos descobrir as alturas de cada retângulo. Ele nos diz que o valor da altura será o valor gerado quando aplicamos o ponto médio de cada subintervalo em f.
O primeiro subintervalo é [0;0,5] e seu ponto médio, portanto, é 0,25.
0,25 aplicado em f, temos: 5 - (0,25)² = 4,9375
Então a área do primeiro retângulo: 0,5 x (4,9375) = 2,47 u. a.
Perceba que a única coisa que vai se alterar será a altura dos retângulos, já que eles possuem bases iguais. Se as alturas serão sempre seus pontos médios do subintervalo da base aplicados na função, podemos escrever o somatório:
Que nos retorna o valor aproximado de 7,375 u. a. (observe no gráfico).
b) Estime a área dessa região tomando como medida da altura do i-ésimo retângulo o valor da função no extremo esquerdo de cada subintervalo. Considere cada subintervalo de tamanho 0,25.
O extremo esquerdo de um subintervalo é o valor de x no qual o retângulo possui seu vértice inferior esquerdo.
f aplicada nesse ponto nos retorna o valor do vértice superior esquerdo do retângulo, pois é sua imagem.
f aplicada nesse ponto nos retorna o valor do vértice superior esquerdo do retângulo, pois é sua imagem.
Teremos um total de 2/0,25 = 8 retângulos.
O primeiro retângulo terá altura = f(0). Se f(0) = 5, então a área do primeiro retângulo será 5 x 0,25 = 1,25 u. a.
Estamos pegando os valores de x sempre do lado esquerdo do subintervalo, então teremos a sequência finita: (0; 0,25;...;1,75). Logo, a área procurada é:
Que é igual a 7,8125 u. a. (confira no gráfico)
Perceba que esta é uma aproximação por excesso, mesmo sendo através de pontos esquerdos dos subintervalos. Isso ocorre pelo fato da função considerada ser decrescente.
Que é igual a 7,8125 u. a. (confira no gráfico)
Perceba que esta é uma aproximação por excesso, mesmo sendo através de pontos esquerdos dos subintervalos. Isso ocorre pelo fato da função considerada ser decrescente.
c) Estime a área dessa reigão tomando como medida da altura do i-ésimo retângulo o valor da função no extremo direito de cada subintervalo, considerando cada subintervalo com tamanho 0,25.
O procedimento é análogo à letra (b), mas agora vamos pegar os valores nos extremos direito dos retângulos. Eles formam a seguinte sequência finita: (0,25;0,50;...;2).
Temos o valor da base dos retângulos, que é 0,25 fixo.
Então, a área estimada será:
Que é igual a 6,8125 u. a. (confira no gráfico)
Perceba que esta é uma aproximação por defeito, mesmo sendo através de pontos direitos dos subintervalos. Isso ocorre pelo fato da função considerada ser decrescente.
Questões para estudo deste conteúdo
