Cálculo Interativo: 2.2 Método da exaustão

A origem do Cálculo integral remonta a mais de 2000 anos, quando os gregos tentavam resolver o problema da determinação de áreas por um processo que designaram de método da exaustão. Este método auxiliava os cálculos de áreas de figuras sem lados bem definidos, consistindo na subdivisão da região desejada em formas que se tinha conhecimento de como calcular suas áreas (triângulos, trapézios etc.). O método da exaustão, muito tempo depois, foi potencializado por grandes matemáticos e hoje temos o chamado Cálculo Integral, ferramenta com inúmeras aplicações em todo os ramos de conhecimento humano, especialmente nas engenharias.

Vejamos o método da exaustão para a área de um segmento parabólico:

Essa região é descrita da seguinte maneira: se escolhermos um ponto arbitrário na base da figura e designarmos por x a sua distância a 0, a distância vertical deste ponto à curva é x². Em particular, se o comprimento da base é b a altura da figura é b². A distância vertical de x à curva designa-se por "ordenada" de x. A curva assim descrita é uma parábola e a região limitada pela curva e pelos dois segmentos de reta se chama segmento parabólico.

Esta figura está contida num retângulo de base b e altura b², mas nitidamente percebemos que a área do retângulo é muito maior do que a área abaixo do segmento parabólico. Arquimedes descobriu que a área que estamos buscando é exatamente um terço da área do retângulo. Mostraremos como ele chegou a essa conclusão. É claro que as demonstrações aqui estão com notações mais modernas e que esse segmento parabólico não é exatamente o que Arquimedes considerou, mas as ideias são essencialmente dele.

O método consiste basicamente inserir retângulos (figura de fácil cálculo de área) dentro da figura. Podemos colocar retângulos como uma aproximação por defeito, ou seja, menor do que a área real abaixo do segmento, ou podemos extrapolar, colocando retângulos que passem por cima da curva, obtendo uma área maior do que a real, como mostra a figura a seguir:

Aproximação por defeito

Aproximação por excesso

Arquimedes percebeu que podia fazer o tanto de retângulos que quisesse e que isso diminuiria o erro no resultado final. Para simplificar os cálculos divide-se a base em n partes iguais, cada uma com comprimento b/n. Os pontos de divisão correspondem aos seguintes valores de x:

A expressão geral para um ponto de divisão de subintervalo é:

Onde k = 0, 1, 2, ... n. Em cada ponto

constrói-se um retângulo de altura

. Como a área de um retângulo é base x altura, essa área equivale a:

Designando por Sn a soma das áreas de todos os retângulos exteriores (excesso), sendo a área do k-enésimo retângulo (b³/n³)k², obtém-se:

E da mesma forma obtemos a soma para o retângulos interiores (defeito):

Note que o fator que multiplica b³/n³ é a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros positivos.

1² + 2² + ... + n².

**O fator correspondente para (2) é análogo, porém a soma tem n - 1 parcelas**

Existe uma identidade para a soma do quadrado dos n primeiros números inteiros e positivos, ou seja, para todo n ≥ 1, é válida:

Substituindo (3) em (1) e rearranjando a equação, obtemos:

Tendendo n ao infinito, vem:

Analogamente para (2):

e então:

Dessa forma, Arquimedes mostrou que ambas as somas convergem para o mesmo número e provou que a área abaixo do segmento parabólico é exatamente b³/3.

É possível generalizar essa descoberta

Para calcular a área abaixo de uma curva do tipo y = x³, o mesmo raciocínio pode ser aplicado. Dessa forma, mostra-se que ela mede exatamente