Cálculo Interativo: 5.3 Funções logarítmicas

Logaritmos

Suponha que uma população cresça de acordo com a equação abaixo, onde t está em horas:

Quando esta população será de 2500? Desejamos resolver a seguinte equação para t:

Sabemos que 10³ = 1000 e 10⁴= 10000, então sabemos que 3 < t < 4, pois 1000 < 2500 < 10000. Mas como encontramos exatamente o valor de t para que P seja 2500? Para isso é que foi definida a função logaritmo comum (função log), escrita como

ou log x:

Se x é um número positivo, log x é o expoente de 10 tal que a potência resulta em x. Matematicamente, se

Por exemplo, log 100 = 2, pois 2 é o expoente de 10 tal que que a potência resulta em 100, ou seja, 10² = 100. Para resolver a equação

, devemos determinar a potência de 10 tal que essa potência resulte em 2500. Numa calculadora científica podemos utilizar a tecla "log" para estimar o valor de t. Encontramos:

Como previsto, este expoente está entre 3 e 4. O valor exato do expoente é log 2500; o valor aproximado é 3,398. Assim, leva aproximadamente 3,4 horas para que essa população alcance 2500.

LOGARITMOS SÃO EXPOENTES!

AS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS SÃO FUNÇÕES INVERSAS!

Para qualquer N,

e para N > 0,

A função logarítmica

O que é função logarítmica?

O gráfico, o domínio e a imagem do logaritmo comum

O domínio de log x são todos os números positivos

Na figura acima podemos ver a imagem da função logarítmica. A curva cruza o eixo x em x = 1, visto que

= 0. O gráfico sobe para y = 1 em x = 10, pois log 10 = log (10¹) = 1. O gráfico de uma função logarítmica sobe tão lentamente depois de x = 1 que, para que y = 20, o valor de x deve ser

, ou 100 bilhões de bilhões! Por conta desse crescimento lento, essa função é utilizada frequentemente como padrão para outras funções com crescimento lento. Quando 0 < x < 1 ela cresce muito rapidamente, sendo assintótica em x = 0, mas nunca tocando o eixo y. Dessa forma, conclui-se que:

A imagem de log x são todos os números reais

O logaritmo natural

Quando e (número de Euler) é usado como base para funções exponenciais, os cálculos se tornam mais fáceis e, por isso, usamos uma outra função logarítmica, denominada logaritmo na base e. Esse logaritmo é tão frequente que possui notação própria: ln x, lido como logaritmo natural de x. Define-se:

Para x > 0,

ln x é o expoente da potência de e que resulta em x.

Matematicamente:

e y é denominado logaritmo natural de x.

Assim como as funções

e log x são inversas, também são o

e o ln x. A função ln x tem propriedades similares à função logaritmo comum.

Propriedades do Logaritmo Natural

Por definição, .
Em particular,

ln 1 = 0 e ln e = 1.

As funções

e ln x são inversas uma da outra, então elas se "desfazem":

ln(

) = x para todo x

para x > 0

Para a e b ambos positivos e para qualquer valor de t,

ln (ab) = ln a + ln b

ln (a/b) = ln a - ln b

ln (

) = t . ln b

Funções exponenciais com base e representam crescimentos contínuos

Qualquer base positiva b pode ser escrita como uma potência de e.

Se b > 1, então k é positivo; se 0 < b < 1, então k é negativo. A função

pode ser escrita em termos de e:

A constante k é denominada taxa de crescimento contínuo. Em geral:

Para a função exponencial , a taxa de crescimento contínuo, k, é obtida resolvendo . Logo:

Se a for positivo,

Se k > 0, então Q é crescente.
Se k < 0, então Q é decrescente.

Exemplo 1 Converta a função exponencial

para a forma

Como a nova fórmula representa a mesma função, queremos P = 175 quando t = 0. Logo, substituindo t = 0, resulta em

, então a = 175. O parâmetro a, em ambas as funções, representa a população inicial. Para todo t,

logo, devemos determinar k tal que

Portanto, k é o expoente da potência de e que resulta em 1,145. Pela definição de ln, obtemos:

k = ln 1,145

\approx

0,1354

Assim,

Outras aplicações

Acidez química

Os logaritmos são úteis para medir quantidades cujas magnitudes variam amplamente, tais como acidez (pH), som (decibéis) e terremotos (a escala Richter). Em química, a acidez de um líquido é expressa pelo pH. Ela depende da concentração de íons H+ (em mols/L) na solução, sendo esta concentração escrita como [H+]. Quanto maior for a concentração de H+, mais ácida é a solução. Por definição, o pH é:

pH = - log [H+]

Exemplo 2 A concentração de íons H+ na água do mar é [H+] =

. Estime o pH da água do mar.