Cálculo Interativo: 3.1 Limites no infinito

Comportamento final de uma função

Considere um tanque que contém 5000 litros no qual são bombeados, por minuto, 25 litros de água contendo 750g de sais diluídos. A concentração de sais na água do tanque será dada por:

Onde t é o tempo, em minutos.

Podemos, a partir da função encontrada, determinar o comportamento da concentração de sais na água quando se tem valores de tempo muito grandes, ou seja, quando t→ +∞. Em notação de limite, temos que:

Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de t, obtém-se:

Temos que ao fazermos t→+∞, a fração 5000/t → 0. Portanto:

Sendo assim, concluímos que a concentração tende a se estabilizar quando se assume valores muito grandes de t. Desta análise, chegamos à nossa definição informal de limites no infinito:

“Se f(x) assume valores tão próximos quanto queiramos de um valor L à medida que x cresce sem parar, então escrevemos

. Se f(x) assume valores tão próximos quanto queiramos de um número L à medida que x decresce sem parar, então escrevemos

”.

A Figura 1 ilustra o gráfico das duas situações definidas. No primeiro caso, o valor de f(x) se aproxima da reta y = L à medida que x cresce; no segundo caso, o valor de f(x) se aproxima da reta y = L quando x decresce. Para estas situações, dizemos que a reta y = L é uma assíntota horizontal do gráfico de f(x).

Figura 1. Assíntotas horizontais.

Fonte: http://docplayer.com.br/docs-images/24/3910116/images/8-0.png

Para uma definição mais completa, precisamos garantir que existe um determinado valor de x a partir do qual a função f(x) estará dentro de um intervalo em torno da reta y = L, não importado quão pequeno este intervalo seja. Ou seja:

Seja f uma função definida em um intervalo aberto [a, +∞). Escrevemos:

Quando L satisfaz a seguinte condição:

Para qualquer ε > 0, existe A > 0 tal que |f(x) - L| < ε sempre que x > A.

Em outras palavras, existe um valor x = A tal que, para todo x > A, o valor da função f(x) estará contido em um intervalo [L - ε,L + ε].

Analogamente, seja f uma função definida em um intervalo aberto (-∞, b]. Escrevemos:

Quando L satisfaz a seguinte condição:

Para qualquer ε > 0, existe B < 0 tal que |f(x) - L| < ε sempre que x < B.

Podemos utilizar as definições acima para por à prova um importante teorema:

Se n é um número inteiro positivo, então:

Para demonstração do primeiro limite, devemos provar que para qualquer ε > 0, existe A > 0, tal que

sempre que x > A. Temos:

Desta forma,

, portanto, temos que x > A →

O segundo limite pode ser demonstrado da mesma maneira e recomenda-se que o aluno desenvolva o mesmo durante seus estudos.

Outra possibilidade quando analisamos o comportamento final de uma função são os valores de f(x) crescerem ou decrescerem infinitamente quando x → ±∞. Para essas situações, dizemos:

Se os valores de f(x) crescem sem cota quando x → ±∞, então escrevemos,

conforme o caso.

Se os valores de f(x) decrescem sem cota quando x → ±∞, então escrevemos,

conforme o caso.

Consideremos, para análise, o comportamento no infinito dos polinômios da forma

para n = 1, 2, 3 e 4. Graficamente (Figura 2), podemos notar que:

Figura 2. Gráficos das funções do tipo

para n = 1, 2, 3 e 4, respectivamente.

Note que a multiplicação de

por um número real positivo não afeta os limites no infinito, entretanto, a multiplicação por um número real negativo provocará a inversão dos sinais.

Para o caso de polinômios, há um princípio que afirma, de maneira informal, que o comportamento final de um polinômio coincide com o comportamento final de seu termo de maior grau. Ou seja:

Tal afirmação pode ser provada colocando em evidência o x de potência mais alta (no caso,

) e examinando o limite da expressão fatorada. Assim,

Para determinarmos o comportamento final de uma função racional, uma estratégia é dividir cada termo do numerador e do denominador pela maior potência de x que ocorra no denominador.

Exemplo 1

Dividindo os termos pela maior potência de x, obtém-se:

Nota-se que quando

. Assim,

Portanto,

Exemplo 2

Repetindo a estratégia do Exemplo 1 e dividindo cada termo do numerador e do denominador pela maior potência de x, temos:

Note que quando x → +∞, os termos

tendem a zero. Assim,

Portanto,

Os gráficos dos Exemplos 1 e 2 estão apresentados na Figura 3.

Figura 3. Gráficos das funções dos Exemplos 1 e 2.

Para analisar este caso, tomemos como exemplo:

Sabemos que o limite de uma raiz enésima é igual à raiz enésima do limite, portanto:

Conforme calculamos anteriormente, sabemos que:

Logo,

Para este caso especial, onde a raiz está aplicada tanto no numerador quanto no denominador, a estratégia é calcular a raiz do limite e não o limite da raiz.

Partimos agora para o comportamento final da função:

Nosso objetivo é determinar:

A estratégia para este caso é manipular a função de modo que as potências de x se tornem potências de

. Podemos, portanto, dividir o numerador e o denominador por |x|. Assim,

Usando o fato de que

Logo,

Nota-se que quando x assume valores muito grandes, os termos

tendem a 0. Assim:

Portanto,

A mesma estratégia pode ser utilizada para determinar o comportamento da função quando x → -∞. Recomenda-se que o aluno efetue tal demonstração durante seus estudos.

4 Integrais sobre intervalos infinitos

Considerando uma função f que seja contínua e não negativa em um intervalo aberto [a,+∞), temos que a área sob a curva y = f(x) sobre o intervalo [a,+∞) será dada pela integral:

Figura 4. Área abaixo de y = f(x) definida no intervalo aberto [a, +∞).

De início, o fato da região em análise apresentar extensão infinita, pode nos levar, intuitivamente, à conclusão de que a área é infinita. Entretanto, tal argumentação não é válida, visto que o conceito de área foi definido somente em intervalos de extensão finita, o que não é o caso. Para determinarmos e definirmos tal área tomemos como exemplo a função

no intervalo [1,+∞).

Para calcularmos tal área vamos, inicialmente, calcular uma parte dela, para um intervalo fechado [1,b] com b > 1. Essa área será dada por:

Desenvolvendo os cálculos:

Substituindo os limites de integração:

Portanto,

Se permitirmos que b cresça de tal modo que b → +∞, então a área abaixo da curva e sobre o intervalo [1, b] irá começar a preencher a área sobre o intervalo [1, +∞). Portanto, podemos representar a área A sob

sobre o intervalo [1, +∞) como sendo:

Conclui-se, portanto, que a área tem valor finito igual a 1, não sendo infinita como suposto inicialmente. A partir deste problema chegamos a mais uma definição:

A integral imprópria de f no intervalo [a,+∞) é definida por:

Caso o limite exista, dizemos que a integral imprópria converge e o limite é definido como sendo o valor da integral. Caso ele não exista, dizemos que a integral imprópria diverge e não é atribuído nenhum valor.

Exemplo 1