Modelo linear
O modelo matemático de crescimento linear pode ser utilizado para representar aproximações de várias situações no mundo real. Para tanto, é tido que um determinado parâmetro varie sempre à mesma taxa em função de outro parâmetro (variação constante).
a) Qual é a taxa média de variação P em qualquer intervalo de tempo?
A taxa média de variação da população com relação ao tempo é de 5.000 pessoas por ano.
b) Determine uma fórmula para P como função de t.
Como a população cresce à uma taxa constante de 5.000 pessoas por ano, a cada ano t teremos mais 5.000 pessoas. Entretanto, devemos considerar a população inicial, que era de 40.000 habitantes. Dessa forma, temos a expressão:
Exemplo
A população de uma cidade de 40.000 habitantes cresce a uma taxa de 5.000 pessoas a cada ano. Como a população, P, está crescendo a uma taxa constante de 5.000 por ano, P é uma função linear do tempo, t, em anos.a) Qual é a taxa média de variação P em qualquer intervalo de tempo?
A taxa média de variação da população com relação ao tempo é de 5.000 pessoas por ano.
b) Determine uma fórmula para P como função de t.
Como a população cresce à uma taxa constante de 5.000 pessoas por ano, a cada ano t teremos mais 5.000 pessoas. Entretanto, devemos considerar a população inicial, que era de 40.000 habitantes. Dessa forma, temos a expressão:
P = Pinicial + 5000t
Canal: Pedro Nóia
Modelo exponencial
Um crescimento exponencial remete a algo que cresce cada vez mais. Em geral, dizemos que uma função cresce a uma taxa percentual constante (não confundir com taxa de variação constante!).
Exemplo 1
Uma população cresce a uma taxa percentual constante de 3% ao ano. Como a população cresce pelo mesmo percentual a cada ano, ela pode ser modelada por uma função exponencial.
A população inicial era de 200 milhões no ano 2005. Então,
Uma população cresce a uma taxa percentual constante de 3% ao ano. Como a população cresce pelo mesmo percentual a cada ano, ela pode ser modelada por uma função exponencial.
A população inicial era de 200 milhões no ano 2005. Então,
População em 2006 = População em 2005 + 3% da população em 2005
= 200 + 0,03(206)
= 200 + 6 = 206 milhões
Similarmente,
População em 2007 = População em 2006 + 3% da população em 2006
= 206 + 0,03(206)
=206 + 6,18 = 212,18 milhões
Observe que, como a porcentagem é em cima do valor obtido sobre a população do ano anterior, ela sempre vai aumentar mais, porque 3% de 200 milhões é diferente de 3% de 206 milhões, e por aí vai. De qualquer forma, a taxa percentual é constante (3%).
Dizemos que P é uma função exponencial de t com base r se:
onde a é a quantidade inicial (quando t = 0) e r é o fator pelo qual y varia quando t varia.
Se r > 1, y tem crescimento exponencial; se 0 < r < 1, temos decrescimento exponencial.
Neste gráfico, você pode manipular dois parâmetros: a e r. Vamos detalhar o que exatamente cada um deles provoca no comportamento da curva.
a: chamado de valor inicial, ele nos diz o ponto em que a curva toca o eixo y (ordenada). Os valores seguintes dependem desse, então a deve ser diferente de 0 para que uma função exponencial exista.
r: chamado de taxa percentual, é um valor constante ao qual a função obedece em seu crescimento/decrescimento.
