A taxa de variação mede como os valores de uma função variam, em média. Em geral, se y = f(x), escrevemos Δy para uma variação em y e Δx para uma variação em x. Definimos:
A taxa média de variação, ou taxa de variação, de y com relação à x, sobre um intervalo em x, é
A taxa média de variação da função y = f(x) sobre um intervalo indica quanto varia y, em média, para cada variação de uma unidade em x dentro desse intervalo. Em algumas partes do intervalo, y pode variar rapidamente, enquanto que em outras partes y pode variar lentamente. A taxa média de variação compensa essas variações.
De um modo geral, podemos identificar uma função crescente ou decrescente a partir de seu gráfico, como se segue:
Sendo y = f(x),
- Se f for uma função crescente, então a taxa média de variação de y com relação a x é positiva em qualquer intervalo.
- Se f for uma função decrescente, então a taxa média de variação de y com relação a x é negativa em qualquer intervalo.
De um modo geral, podemos identificar uma função crescente ou decrescente a partir de seu gráfico, como se segue:
- O gráfico de uma f crescente sobe quando lido da esquerda para a direita.
- O gráfico de uma f decrescente desce quando lido da esquerda para a direita.
Várias funções são crescentes em alguns intervalos e decrescentes em outros!
Notação de função para a taxa média de variação
Suponha que queremos determinar a taxa média de variação de uma função y = f(x) sobre o intervalo a ≤ x ≤ b. Sobre este intervalo, a variação em x é dada por:
Suponha que queremos determinar a taxa média de variação de uma função y = f(x) sobre o intervalo a ≤ x ≤ b. Sobre este intervalo, a variação em x é dada por:
Δx = b - a
Em x = a, o valor de y é f(a) e, em b, o valor de y é f(b). Então, a variação em y é dada por:
Δy = f(b) - f(a)
Usando a notação de função, expressamos a taxa média de variação como se segue:
Observe, neste gráfico, o que a equação acima nos mostra. Uma reta secante à uma curva indica variação média dentro do intervalo. A reta tangente será utilizada em outra seção.
Neste gráfico, a taxa de variação não é constante, como nos gráficos de crescimento linear.
Resumo: funções crescentes e decrescentes; concavidade
Os esboços abaixo mostram as relações entre concavidade e taxa de variação:
Crescente e côncava para baixo
Decrescente e côncava para baixo
Decrescente e côncava para cima
Crescente e côncava para cima
Alguns conceitos de Física
A Cinemática é o estudo dos movimentos sem a preocupação com as suas causas. Ao estudar cinemática, procuramos encontrar as seguintes grandezas:
• Posição: local que uma partícula ocupa no espaço;
• Deslocamento: é uma grandeza vetorial, ou seja, possui módulo, direção e sentido, definida como a variação da posição de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim, o vetor deslocamento pode ser obtido pela diferença entre as posições final e inicial;
• Tempo: O tempo na mecânica newtoniana é absoluto e uniforme;
• Velocidade média: é a razão entre o deslocamento de uma partícula e o intervalo de tempo para que o deslocamento aconteça. A velocidade média mede a variação da posição do móvel no tempo, e nos fornece um valor que expressa o quanto o móvel está rápido ou devagar ao realizar um percurso.
• Velocidade instantânea: A velocidade instantânea é a velocidade medida em um determinado momento. Diferente da velocidade média, que mede a velocidade média durante um percurso em uma variação de tempo, a velocidade instantânea mede a velocidade em um instante específico.
• Aceleração: é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a rapidez com que a velocidade de um corpo varia. É uma grandeza vetorial que como tal possui módulo, direção e sentido.
Nesta área da Física, estudamos alguns tipos de movimentos, entre eles o movimento retilíneo uniforme e o movimento retilíneo uniformemente variado.
Movimento Retilíneo Uniforme – MRU
O movimento é chamado de retilíneo quando ele se dá ao longo de uma reta em relação a um sistema de referência. Em outras palavras, quando sua trajetória é uma reta. O movimento uniforme é aquele que se dá com velocidade constante, ou seja, V = V0.
O movimento retilíneo e uniforme tem as seguintes características:
• Velocidade constante, daí o termo uniforme;
• Distâncias iguais são percorridas para o mesmo intervalo de tempo;
• Aceleração nula
Equação no MRU
Considere um móvel percorrendo uma trajetória retilínea com respeito a um referencial adotado, por exemplo, a origem do eixo x. No instante de tempo t0 = 0, o móvel encontra-se em S0 (posição inicial) e no instante de tempo t, o móvel está na posição S. Como a velocidade média para o movimento retilíneo e uniforme é idêntica a velocidade em qualquer tempo, Vm = V, tem-se da definição de velocidade escalar média
Então isolando-se S temos a equação horária do MRU dada pela seguinte equação:
A variação do espaço ΔS = S - S0 = Vt é numericamente igual a área sob a curva do gráfico da velocidade contra o tempo (gráfico de V x t).
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado – MRUV
O movimento é chamado retilíneo uniformemente variado (MRUV) quando a trajetória é uma reta e a velocidade varia linearmente com o tempo. O movimento uniformemente variado tem as seguintes características:
• Aceleração constante;
• A velocidade varia uniformemente com o tempo;
• O espaço percorrido aumenta proporcionalmente ao quadrado do tempo.
Equação de velocidade no MRUV
Seja V0 a velocidade inicial do móvel no instante de tempo t0 = 0 e V a sua velocidade no instante de tempo t, então a aceleração média am = a vale:
(1)
De onde se encontra após isolarmos v, a equação de velocidade do MRUV dada pela equação:
V = V0 + at (2)
Equação de Movimento no MUV
Seja S0 a posição inicial do móvel e V0 a velocidade inicial no instante de tempo t0 = 0. Considere também S e V como sendo a posição e a velocidade do móvel no instante de tempo t. Sabendo-se que ΔS = S - S0 é a área abaixo da curva de V x t (um trapézio) e ΔV = V - V0 sendo a velocidade V dado pela equação (2) acima pode-se escrever:
De onde tiramos a equação horária do MUV dada pela equação (3)
